シュレディンガー方程式 固定端条件と周期境界条件
昔やったけど忘れたのでもう一回
長さLの領域にある粒子の波動関数をシュレディンガー方程式で解くことを試みる。簡単のため一次元問題とする。
結果、平面波が出てくる。
・固定端条件
端と端で波動関数の値が0、という条件のもとで解くと波数が
となる。
ただしnは自然数。ここでnが正に限られるのは、マイナスのnを取っても、プラスのnを取ったときの波動関数を定数倍しただけのものが出てくるからである。シュレディンガー方程式は線形性を持つので、ある波動関数と、それを定数倍した波動関数は同一の状態を表す。したがってマイナスのnを取っても、プラスのnを取った時の波動関数と同一の状態を指すので、マイナスのnは省略している。
固定端条件は、長さLの領域に”閉じ込められた”粒子に対する条件として使われる。
・周期境界条件
Lだけ移動させた時に値が一致する、という条件のもとで解くと
を得る。
このnは正負両方許される。これは、周期境界条件のもとで解いた波動関数が、プラスのnとマイナスのnに対して異なるものになるからである。（古典的描像としては進行方向の向きに対応するんだとか）
周期境界条件は、長さLの”リング内にある”粒子に対する条件として使われる。
